Egzamin

Zbiór zadań

Oryginał znajduje się pod adresem http://rainbow.if.pwr.wroc.pl/~gharan/zadania_i_egzamin.htm, tutaj znajduje się stan z dnia 1 marca 2009.

Mechanika

Kinematyka

1. Otrzymać wzory na prędkość i położenie w jednowymiarowym ruchu jednostajnie przyspieszonym.
2. Otrzymać wzory na prędkość i położenie w dwuwymiarowym ruchu jednostajnie przyspieszonym.
3. Wyprowadzić wzory na przyspieszenia: styczne i normalne.
4. Prędkość i przyspieszenie we współrzędnych biegunowych - otrzymać wzory.
5. Przyspieszenie styczne i normalne na przykładzie ruchu po okręgu ze stałą szybkością.
6. Przyspieszenie radialne i transwersalne w ruchu po okręgu ze stałym przyspieszeniem kątowym.

Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia

1. Co to jest inercjalny układ odniesienia? Związek z pierwszą zasadą dynamiki Newtona.
2. Transformacja Galileusza. Związek z inercjalnymi układami odniesienia.
3. Eksperyment Foucaulta. Co on pokazuje?
4. W wagonie poruszającym się prostoliniowo z przyspieszniem a wisi na nitce kulka o masie m. Opisać ruch kulki w inercjalnym układzie odniesienia i w związanym z wagonem nieinercjalnym układzie odniesienia.
5. Porównać opis ruchu po okręgu ze stałą szybkością w inercjalnym układzie odniesienia i w związanym z poruszającą się po okręgu cząstką nieinercjalnym układzie odniesienia.
6. Policzyć siłę Coriolisa działającą na wahadło matematyczne o masie m na szerokości geograficznej północnej 30^o, gdy wahadło porusza się
   1. z południa na północ,
   2. ze wschodu na zachód.

Praca i energia

1. Policz pracę wykonaną przez siłę sprężystości przy przesunięciu ciała z położenia xi do położenia xf.
2. Policzyć pracę jaką należy wykonać przyspieszając do prędkości v spoczywającą swobodną cząstkę o masie m, czyli wyprowadzić wzór na nierelatywistyczną energię kinetyczną.
3. Podaj trzy równoważne definicje siły potencjalnej.
4. Pokaż, że rotF=0 jest warunkiem koniecznym i wystarczającym potencjalności trójwymiarowej siły F. Do jakiego warunku redukuje się on, gdy siła F=(Fx,Fy,0) jest siłą dwuwymiarową?
5. Napisz równanie wiążące siłę z energią potencjalną.
6. Pokazać, że pole jednorodne, czyli pole stałej siły, jest potencjalne.
7. Wykazać potencjalność siły centralnej.
8. Pokaż, że siła tarcia nie jest siłą potencjalną.
9. Znajdź energię potencjalną jednorodnego pola grawitacyjnego.
10. Znajdź energię potencjalną siły sprężystości.
11. Pokazać, że siła grawitacji jest siłą potencjalną i znaleźć grawitacyjną energię potencjalną układu dwóch mas m1, m2 znajdujących się w odległości r.
12. Zasada zachowania energii mechanicznej.
13. Masa m poruszająca się z prędkością v zderza się z lekką sprężyną o stałej sprężystości k. Policzyć maksymalne skrócenie sprężyny po zderzeniu, jeśli ruch odbywa się bez tarcia.
14. Masa m poruszająca się z prędkością v zderza się z lekką sprężyną o stałej sprężystości k. Policzyć maksymalne skrócenie sprężyny po zderzeniu, jeśli pomiędzy masą i powierzchnią podłoża działa siła tarcia o współczynniku f.
15. Zasada zachowania energii mechanicznej układu dwóch mas m, M oddziałujących grawitacyjnie. Rozważyć przypadek M»m.
16. Planeta o masie m krąży wokół gwiazdy o masie M (M»m) po orbicie kołowej o promieniu r. Znaleźć całkowitą energię mechaniczną tego układu mas.
17. Znaleźć prędkość ucieczki z kulistej planety o masie M i promieniu R. (Druga prędkość kosmiczna)

Zasada zachowania pędu

1. Pokazać, że pęd izolowanego układu dwóch cząstek, które oddziałują ze sobą siłami wewnętrznymi jest zachowany.
2. Wyprowadzić zasadę zachowania pędu układu N cząstek.
3. Dwie cząstki o masach m1, m2 i prędkościach v1, v2 zderzają się doskonale niesprężyście. Znaleźć prędkość cząstek po zderzeniu.
4. Dwie cząstki o masach m1, m2 i prędkościach v1, v2 zderzają się centralnie doskonale sprężyście. Znaleźć prędkości cząstek po zderzeniu, a następnie rozważyć przypadek m1=m2.
5. Równania opisujące zderzenie doskonale sprężyste dwóch cząstek na płaszczyźnie. Jakie dodatkowe informacje są potrzebne, aby znając prędkości cząstek przed zderzeniem otrzymać ich prędkości po zderzeniu?
6. Znajdź pęd środka masy układu N cząstek o pędach pi, i=1,2,…,N. Jaki jest jego związek z zewnętrzną siłą F działającą na układ?

Bryła sztywna

1. Znajdź moment bezwładności jednorodnego pręta o masie M i długości L względem prostopadłej do pręta osi: a) symetralnej, b) przechodzącej przez jeden z końców pręta.
2. Znajdź moment bezwładności jednorodnej tarczy kołowej o masie M i promieniu R względem osi symetrii prostopadłej do płaszczyzny tarczy.
3. Znajdź moment bezwładności jednorodnej kuli o masie M i promieniu R względem jej osi symetrii.
4. Wyprowadzić twierdzenie Steinera.

Dynamika ruchu obrotowego

1. Na cząstkę znajdującą się w położeniu określonym wektorem r działa siła F. Znaleźć związek pomiędzy momentem pędu cząstki i momentem siły F. Kiedy moment pędu cząstki jest stały?
2. Otrzymać zależność między momentem pędu i prędkością kątową obracającej się wokół stałej osi bryły sztywnej o momencie bezwładności I.
3. Otrzymać zależność między momentem siły i przyspieszeniem kątowym obracającej się wokół stałej osi bryły sztywnej o momencie bezwładności I.
4. Pokazać, że moment pędu układu N cząstek oddziałujących siłami wewnętrznymi jest zachowany.
5. Z dwóch stron układu dwóch identycznych bloczków o momencie bezwładności I i promieniu R zawieszono na bardzo lekkiej lince dwie różne masy m1, m2. Znajdź przyspieszenie mas i siły naprężenia linki.
6. Kula o promieniu R i masie M stacza się bez poślizgu z równi pochyłej o wysokości H i kącie nachylenia Q. Znaleźć przyspieszenie środka masy i prędkość na dole równi.
7. Policz energię kinetyczną bryły sztywnej obracającej się z szybkością kątową omega wokół stałej osi.
8. Otrzymać wzór na pracę wykonaną przez moment siły t przy obróceniu bryły sztywnej wokół stałej osi z położenia określonego kątem o1 do położenia określonego kątem o2. Policzyć pracę wykonaną przy przyspieszeniu bryły sztywnej o momencie bezwładności I od szybkości kątowej w0 do szybkości kątowej w.

Ruch drgający

1. Rozwiązać równanie ruchu oscylatora harmonicznego prostego z warunkami początkowymi:
   1. x(t=0)=x0 i v(t=0)=0,
   2. x(t=0)=0 i v(t=0)=v0. Jaka jest częstość i amplituda tych drgań?
2. Policzyć częstość drgań wahadła matematycznego o masie m i długości l.
3. Policzyć częstość drgań wahadła fizycznego o masie m i momencie bezwładności I zawieszonego w odległości d od środka masy.
4. Znaleźć całkowitą energię drgań oscylatora harmonicznego prostego.
5. Napisać równanie ruchu oscylatora tłumionego. Podać przybliżony wzór rozwiązania dla bardzo słabego tłumienia drgań i przedstawić to rozwiązanie na rysunku.
6. Rozwiązać równanie ruchu oscylatora tłumionego w przypadku słabego tłumienia z warunkami początkowymi x(t=0)=x0 i v(t=0)=0.
7. Rozwiązać równanie ruchu oscylatora tłumionego w przypadku silnego tłumienia z warunkami początkowymi x(t=0)=x0 i v(t=0)=0.
8. Rozwiązać równanie oscylatora harmonicznego prostego z siłą wymuszającą F=Acos(wt) i warunkami początkowymi x(t=0)=x0, v(t=0)=0. Kiedy zachodzi rezonans? Znaleźć zależność amplitudy drgań rezonansowych od czasu.
9. Znaleźć amplitudę drgań wymuszonych oscylatora harmonicznego tłumionego zależną od częstości siły wymuszającej F=Acos(wt), czyli część harmoniczną rozwiązania.

Grawitacja

1. Dwie cząstki oddziałują siłą, która jest centralna. Zapisz równania ruchu cząstek używając współrzędnych środka masy i współrzędnych położenia względnego. (Zagadnienie dwóch ciał)
2. Wyprowadzić drugie prawo Keplera.
3. Wyprowadzić trzecie prawo Keplera dla orbity kołowej.
4. Opisz możliwe rozwiązania ruchu względnego dwóch ciał (planet).
5. Policz potencjał jednorodnej powłoki sferycznej o promieniu R i masie M w odległości r od środka sfery.

Szczególna teoria względności

1. Podstawy szczególnej teorii względności - postulaty Einsteina. Omówić charakterystyczne zjawiska.
2. W wagonie o wysokości z0 przeprowadzono eksperyment polegający na wysłaniu promienia światła z podłogi, odbiciu go przez zwierciadło na suficie i powrocie do źródła na podłodze. Wyznaczyć czas trwania tego eksperymentu zmierzony w wagonie oraz czas, który określi obserwator widzący poruszający się prostoliniowo wagon z prędkością v.
3. Porównując długość drogi zmierzoną w układzie związanym z mezonem mi i układzie ziemskim, w którym mezon porusza się z prędkością v otrzymać relację relatywistycznego skrócenia długości.
4. Korzystając z efektu relatywistycznego skrócenia długości i zasady względności wyprowadzić wzór transformacji Lorentza.
5. Korzystając z transformacji Lorentza wyprowadzić wzory dylatacji czasu i relatywistycznego skrócenia długości.
6. W inercjalnym układzie odniesienia K prędkość cząstki wynosi u=(ux,uy,uz). Jaka jest prędkość tej samej cząstki zmierzona przez obserwatora, który porusza się w K zgodnie z kierunkiem osi X z prędkością v? (Wzór na relatywistyczne składanie prędkości)
7. Wykaż stałość prędkości światła w inercjalnych układach odniesienia.
8. Transformacja Lorentza w przestrzeni czterowymiarowej, czterowektor, czteroskalar.
9. Pokaż, że interwał jest czteroskalarem.
10. Wykaż, że iloczyn skalarny w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest czteroskalarem.
11. Uzasadnij znaczenie określeń - interwał czasowy i interwał przestrzenny.
12. Stożek świetlny. Związek poszczególnych obszarów z interwałem. Relacja przyczynowości i jej zaburzenie.
13. Pokaż, że wewnątrz stożka świetlnego jest zachowany porządek czasowy.
14. Pokaż, że na zewnątrz stożka świetlnego następuje zaburzenie relacji przyczynowości.
15. Reguła ilorazowa.
16. Efekt Dopplera.
17. Pokaż, że czas własny jest czteroskalarem.
18. Czteroprędkość i czteropęd. Zasada zachowania pędu.
19. Energia jako czwarta składowa pędu. Energia kinetyczne i energia spoczynkowa. Energia kinetyczna dla małych prędkości.
20. Korzystając z zależności między relatywistyczną siłą i relatywistycznym pędem policz pracę jaką należy wykonać przyspieszając do prędkości v spoczywającą relatywistyczną cząstkę o masie m, czyli wyprowadź wzór na relatywistyczną energię kinetyczną.
21. Energia spoczynkowa. Zmiana masy a zmiana energii kinetycznej w zderzeniu dwuciałowym.
22. Związek zmiany masy ze zmianą energii wewnętrznej.
23. Zmiana masy atomu rtęci w doświadczeniu Francka - Hertza.
24. Przykład reakcji syntezy jądrowej i reakcji, w której względna zmiana masy wynosi 100%.
25. Otrzymaj związek między energią i pędem cząstki.
26. Zderzenie niesprężyste.

Termodynamika

1. Wyprowadź równanie stanu gazu doskonałego.
2. Korzystając z zasady ekwipartycji energii znaleźć energię wewnętrzną N cząstek jednoatomowego i dwuatomowego gazu doskonałego.
3. Korzystając z zasady ekwipartycji energii znaleźć molowe ciepło właściwe przy stałej objętości
   1. jednoatomowego,
   2. dwuatomowego gazu doskonałego, a następnie korzystając z definicji policzyć molowe ciepło właściwe tego gazu przy stałym ciśnieniu.
4. Policzyć pracę wykonaną przez N cząstek gazu doskonałego w procesie izotermicznego rozprężania od objętości vi do objętości vf. Znaleźć zmianę entropii gazu w tym procesie.
5. Otrzymać równanie przemiany adiabatycznej.
6. Policzyć pracę wykonaną przez gaz doskonały w procesie adiabatycznego rozprężania od objętości v1 do objętosci v2.
7. Policzyć zmianę entropii układu w procesach rozprężania izotermicznego i rozprężania swobodnego. Jaka jest zasadnicza różnica między tymi procesami?

Elektrodynamika

1. Znaleźć potencjał dipola elektrycznego w dużej odległości od dipola. Policzyć natężenie pola elektrostatycznego.
2. Policzyć energię potencjalną układu dwóch ładunków punktowych q, Q znajdujących się w odległości r. Określić potencjał ładunku punktowego Q.
3. Wyznaczyć zależność między różnicą potencjałów i natężeniem pola elektrostatycznego.
4. Otrzymać równanie ciągłości, czyli zasadę zachowania ładunku i uzasadnić matematyczną zgodność poprawionego prawa Ampere'a.
5. Prawo Gaussa w postaci różniczkowej i całkowej. Korzystając z prawa Gaussa policz natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego Q. Jaką siłą działa on na ładunek punktowy q znajdujący się w odległości r?
6. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wokół nieskończonej płaszczyzny o powierzchniowej gęstości ładunku s.
7. Znaleźć pojemność kondensatora płaskiego.
8. Policz energię zgromadzoną w polu elektrycznym kondensatora. Określ gęstość energii w kondensatorze płaskim.
9. Napisz w postaci różniczkowej i całkowej równanie Maxwella mówiące o tym, że nie ma ładunków magnetycznych.
10. Związek między polem elektrycznym i strumieniem pola magnetycznego - prawo Faradaya w postaci różniczkowej i całkowej.
11. Prawo Ampere'a w postaci różniczkowej i całkowej. Korzystając z prawa Ampere'a policz indukcję pola magnetycznego B w odległości r od drutu z prądem o natężeniu I.
12. Znajdź indukcję pola magnetycznego B w otoczeniu drutu o promieniu przekroju poprzecznego R, w którym płynie jednorodny prąd o natężeniu I.
13. Policz indukcję pola magnetycznego wewnątrz nieskończonego solenoidu o liczbie zwojów na jednostkę długości równej n, przez który płynie prąd o natężeniu I. Znajdź siłę elektromotoryczną indukowaną w idealnym solenoidzie o długości l i polu powierzchni przekroju poprzecznego S. Wyznacz energię i gęstość energii pola magnetycznego wewnątrz tego solenoidu.
14. Otrzymaj równanie opisujące ruch ładunku w układzie LC. Podaj częstość drgań układu.
15. Otrzymaj równanie opisujące ruch ładunku w układzie RLC.
16. Cząstka o ładunku q wpada z prędkością v w stałe pole magnetyczne B, tak że wektor prędkości cząstki v jest prostopadły do wektora indukcji pola B. Jaka siła działa na cząstkę? Po jakim torze porusza się cząstka? Podaj parametry tego toru.
17. Elektryczne własności przewodników.
18. Policzyć moc energii cieplnej wydzielającej się na oporniku o oporze R, przez który płynie prąd o natężeniu I.
19. Napisać prawo Gaussa w dielektryku i rozwiązać następujące zadanie. Metalowa kula o promieniu R1 naładowana ładunkiem Q jest otoczona powłoką z dielektryka liniowego o przenikalności elektrycznej ed i promieniu R2. Znaleźć wektory E, D i P, a także gęstość powierzchniową ładunków związanych.
20. Znaleźć orbitalny magnetyczny moment dipolowy atomu z jednym elektronem na orbicie. Policzyć wpływ pola magnetycznego na ten moment dipolowy. Co to jest diamagnetyzm?
21. Paramagnetyzm, ferromagnetyzm, diamagnetyzm - krótki opis.
22. Napisać prawo Ampere'a w materiale magnetycznym i rozwiązać następujące zadanie. Przez długi, miedziany pręt (słaby diamagnetyk) o promieniu R1 płynie równomiernie prąd o natężeniu I. Pręt jest otoczony izolacją w kształcie walca o promieniu R2 wykonaną z ośrodka liniowego o podatności magnetycznej xm. Znaleźć wektory B, H i M.
23. Napisać równania Maxwella w materii używając tylko ładunków i prądów swobodnych. Wytłumaczyć fizyczne znaczenie ładunku związanego, prądu związanego i prądu polaryzacji.
24. Wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej w próżni dla wektora E lub B. Rozwiązać to równanie.
25. Napisać pola E i B fali elektromagnetycznej. Wyznaczyć wzajemną orientację tych wektorów i wektora falowego k. Uzasadnić, który z tych wektorów określa kierunek propagacji fali.
26. Otrzymać warunki graniczne dla wektorów E i B na granicy dwóch ośrodków liniowych, gdy nie ma swobodnych ładunków i prądów powierzchniowych.
27. Wyprowadzić prawo odbicia i załamania fali elektromagnetycznej na granicy dwóch ośrodków. (Dołączony zostanie rysunek pomocniczy)
28. Otrzymać równania Fresnela dla fali elektromagnetycznej spolaryzowanej w płaszczyźnie padania. (Dołączony zostanie rysunek pomocniczy.)
29. Policzyć energię przenoszoną przez monochromatyczną falę elektromagnetyczną w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni, czyli jej wektor Poyntinga. Związać go z gęstością energii pola elektromagnetycznego fali.
30. Doświadczenie interferencyjne Younga.

Fizyka kwantowa

1. Jakie założenia były potrzebne Planckowi do wyjaśnienia zagadnienia promieniowania ciała doskonale czarnego?
2. Na czym polega zjawisko fotoelektryczne? Podstawowe własności, czyli pierwsze i drugie doświadczenie fotoelektryczne.
3. Jakie są podstawowe trudności w interpretacji zjawiska fotoelektrycznego przy zastosowaniu klasycznej teorii promieniowania (fal elektromagnetycznych)?
4. Podstawowe założenia, które umożliwiły Einsteinowi wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego. Równanie Einsteina.
5. Dlaczego foton jest cząstką bezmasową? Jak pęd fotonu zależy od jego energii, a jak jest związany z długością stowarzyszonej z nim fali elektromagnetycznej?
6. Zjawisko Comptona - na czym polega, jaki jest wynik pomiaru? Napisz równania opisujące rozpraszanie fotonu.
7. Wyprowadź wzór określający zależność przesunięcia comptonowskiego od kąta rozproszenia.
8. Jaka jest długość fali materii (de Broglie'a) cząstki o pędzie p? Podaj przykład zjawiska, w którym elektron ma własności falowe.
9. Jakie zjawiska potwierdzają kwantową naturę oddziaływania promieniowania z materią?
10. Falowa natura materii w eksperymencie Davissona-Germera.
11. Interferencja fal materii w doświadczeniu z dwiema szczelinami.
12. Zasada komplementarności Bohra. Podaj przykłady dotyczące materii i promieniowania.
13. Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej. Na czym polega losowość wyniku pomiaru, podaj przykład.
14. Rozwiąż stacjonarne równanie Schrodingera dla cząstki w nieskończonej studni potencjału.
15. Relacja nieoznaczoności Heisenberga.

Inne

1. Wymień co najmniej trzy fundamentalne stałe fizyczne i napisz dla jakich zjawisk są one istotne (podaj przykłady zjawisk).