Lista zadań na pierwsze kolokwium

Pierwsza kartka

Druga kartka

Zadanie pierwsze

Znaleźć formę biegunową formy hermitowskiej

(1)
\begin{align} \eta(X) = x_1\overline{x_1} - ix_1\overline{x_2} + ix_2\overline{x_1} - x_2\overline{x_2} \end{align}

Zadanie drugie

Znaleźć formę biegunową formy kwadratowej

Podpunkt a)

(2)
\begin{align} \gamma(X) = x_1^2-4x_1x_2-4x_2^2 \end{align}

Podpunkt b)

(3)
\begin{align} \gamma(X) = x_1^2 - 4x_1x_2 + 4x_1x_3 - 4x_3^2 \end{align}

Zadanie trzecie

Dla danej formy kwadratowej znaleźć rząd formy i zbadać, czy jest ona określona:

Podpunkt a)

(4)
\begin{align} \gamma(X) = x_1^2 - 4x_1x_2 - 4x_2^2 \end{align}

Podpunkt b)

(5)
\begin{align} \gamma(X) = x_1^2+4x_1x_2 + 5x_2^2 + 2x_2x_3 + 2x_3^2 \end{align}

Zadanie czwarte

Wykazać, że jeśli forma kwadratowa jest dodatnio określona, to każdy ortogonalny względem tej formy układ niezerowych wektorów jest liniowo niezależny.

Zadanie piąte

Sprowadzić do postaci kanonicznej metodą Lagrange'a formę kwadratową dzwine y daną w bazie kanonicznej i znaleźć macierz przejścia od bazy kanonicznej do bazy ortogonalnej względem tej formy. Zbadać rząd formy i jej określoność.

Podpunkt a)

(6)
\begin{align} \gamma(X) & = & x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 6x_2x_3 \end{align}

Podpunkt b)

(7)
\begin{align} \gamma(X) & = & 2x_1^2 + 17x_2^2 + 17x_3^2 + 8x_1x_2 + 8x_1x_3 - 2x_2x_3 \end{align}

Podpunkt c)

(8)
\begin{align} \gamma(X) & = & 2x_1^2 + 5x_2^2+11x_3^2+2x_1x_2+8x_1x_3+6x_2x_3 \end{align}

Podpunkt d)

(9)
\begin{align} \gamma(X) & = & x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 \end{align}

Podpunkt e)

(10)
\begin{align} \gamma(X) & = & x_1^2 -2x_2^2+6x_1x_3 + 9x_2x_3 - 4x_3x_4 \end{align}

Podpunkt f)

(11)
\begin{align} \gamma(X) & = & 7x_1^2+9x_2^2+8x_3^2+12x_1x_2 + 8x_1x_3 + 16x_2x_3 \end{align}

Zadanie szóste

Która z form biegunowych form kwadratowych rozpatrywanych powyżej może być skalarnym w odpowiedniej przestrzeni liniowej?

To są notatki z wykładów, tak więc bardzo możliwe, że prawa autorskie należą do wykładowców...