Lista zadań na pierwsze kolokwium
Pierwsza kartka
Druga kartka
Zadanie pierwsze
Znaleźć formę biegunową formy hermitowskiej
(1)\begin{align} \eta(X) = x_1\overline{x_1} - ix_1\overline{x_2} + ix_2\overline{x_1} - x_2\overline{x_2} \end{align}
Zadanie drugie
Znaleźć formę biegunową formy kwadratowej
Podpunkt a)
(2)\begin{align} \gamma(X) = x_1^2-4x_1x_2-4x_2^2 \end{align}
Podpunkt b)
(3)\begin{align} \gamma(X) = x_1^2 - 4x_1x_2 + 4x_1x_3 - 4x_3^2 \end{align}
Zadanie trzecie
Dla danej formy kwadratowej znaleźć rząd formy i zbadać, czy jest ona określona:
Podpunkt a)
(4)\begin{align} \gamma(X) = x_1^2 - 4x_1x_2 - 4x_2^2 \end{align}
Podpunkt b)
(5)\begin{align} \gamma(X) = x_1^2+4x_1x_2 + 5x_2^2 + 2x_2x_3 + 2x_3^2 \end{align}
Zadanie czwarte
Wykazać, że jeśli forma kwadratowa jest dodatnio określona, to każdy ortogonalny względem tej formy układ niezerowych wektorów jest liniowo niezależny.
Zadanie piąte
Sprowadzić do postaci kanonicznej metodą Lagrange'a formę kwadratową dzwine y daną w bazie kanonicznej i znaleźć macierz przejścia od bazy kanonicznej do bazy ortogonalnej względem tej formy. Zbadać rząd formy i jej określoność.
Podpunkt a)
(6)\begin{align} \gamma(X) & = & x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 6x_2x_3 \end{align}
Podpunkt b)
(7)\begin{align} \gamma(X) & = & 2x_1^2 + 17x_2^2 + 17x_3^2 + 8x_1x_2 + 8x_1x_3 - 2x_2x_3 \end{align}
Podpunkt c)
(8)\begin{align} \gamma(X) & = & 2x_1^2 + 5x_2^2+11x_3^2+2x_1x_2+8x_1x_3+6x_2x_3 \end{align}
Podpunkt d)
(9)\begin{align} \gamma(X) & = & x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 \end{align}
Podpunkt e)
(10)\begin{align} \gamma(X) & = & x_1^2 -2x_2^2+6x_1x_3 + 9x_2x_3 - 4x_3x_4 \end{align}
Podpunkt f)
(11)\begin{align} \gamma(X) & = & 7x_1^2+9x_2^2+8x_3^2+12x_1x_2 + 8x_1x_3 + 16x_2x_3 \end{align}
Zadanie szóste
Która z form biegunowych form kwadratowych rozpatrywanych powyżej może być skalarnym w odpowiedniej przestrzeni liniowej?
wersja strony: 1, ostatnia edycja: 06 Apr 2009 17:47